Question

3．对a，b定义一种新运算M，规定M（a，b）=$\frac{2ab}{a-b}$，这里等式右边是通常的四则运算，例如：M（2，3）=$\frac{2×2×3}{2-3}$=-12．
（1）如果M（2x，1）=M（1，-1），求实数x的值；
（2）若令y=M（x+$\frac{3}{2}$，x-$\frac{1}{2}$），则y是x的函数，当自变量x在-1≤x≤2的范围内取值时，函数值y为整数的个数记为k，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据定义新运算的计算方法列出方程求得x的数值即可；
（2）根据定义新运算的计算方法列出二次函数解析式，进一步利用x的取值范围，得出y的取值范围，求得y的整数值，进一步确定k的值即可．

解答 解：（1）∵M（2x，1）=M（1，-1），
∴$\frac{4x}{2x-1}$=$\frac{-2}{2}$，
解得：x=$\frac{1}{6}$；
经检验：x=$\frac{1}{6}$是原分式方程的解．
（2）y=M（x+$\frac{3}{2}$，x-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{2（x+\frac{3}{2}）（x-\frac{1}{2}）}{（x+\frac{3}{2}）-（x-\frac{1}{2}）}$
=x²+x-$\frac{3}{4}$=（x+$\frac{1}{2}$）²-1，
∵当x=-$\frac{1}{2}$时，y=-1，当x=2时，y=5$\frac{1}{4}$，
∴当-1≤x≤2时，y的整数值由-1，0，1，2，3，4，5这7个数；
即k=7．

点评 此题考查二次函数的性质，解分式方程，理解定义新运算的方法，掌握二次函数的性质以及解分式方程的步骤与方法是解决问题的关键．