Question

1．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，则∠E的度数=25°；
（2）当P点在线段AD上运动时，设∠B=α，∠ACB=β（β＞α），则∠E=$\frac{β-α}{2}$（用α，β的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．

解答 解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=30°，
∴∠ADC=65°，
∴∠E=25°．
故答案为：25°；

（2）∠E=$\frac{β-α}{2}$．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∵∠B=α，∠ACB=β，
∴∠CAB=180°-α-β，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$（180°-α-β），
∴∠3=∠B+∠1=α+$\frac{1}{2}$（180°-α-β）=90°+$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β，
∵PE⊥AD，
∴∠DPE=90°，
∴∠E=90°-（90°+$\frac{1}{2}$α-$\frac{1}{2}$β）=$\frac{1}{2}$（m-n）°=$\frac{1}{2}$（β-α）．
故答案为：$\frac{β-α}{2}$．

点评 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．