Question

【题目】如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF．

（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图所示：连接OF、OC，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，

∵E为BC边中点，AO=DO，

∴AO=AD，EC=BC，

∴AO=EC，AO∥EC，

∴四边形OAEC是平行四边形，

∴AE∥OC，

∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA，

∵OA=OF，

∴∠OAF=∠OFA，

∴∠DOC=∠FOC，

∵在△ODC和△OFC中

，

∴△ODC≌△OFC（SAS），

∴∠OFC=∠ODC=90°，

∴OF⊥CF，

∴CF与⊙O相切；

（2）

解：如图所示：连接DE，

∵AO=DO，AF=EF，AD=2，

∴DE=20F=2，

∵E是BC的中点，

∴EC=1，

在Rt△DCE中，由勾股定理得：

DC=，

∴AB=CD=．

【解析】（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形OAEC是平行四边形，进而得出△ODC≌△OFC（SAS），求出OF⊥CF，进而得出答案；
（2）利用勾股定理得出DC的长，即可得出AB的长，
【考点精析】本题主要考查了勾股定理的概念和矩形的性质的相关知识点，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．