Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c过点B（3，0），C（0，3），D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）点C关于抛物线y=﹣x2+bx+c对称轴的对称点为E点，联结BC，BE，求∠CBE的正切值；
（3）点M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，求点M坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（3，0）和点C（0，3）

∴ ，

解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3，

y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）

（2）

解：由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，

∵点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，

∴点E（2，3），

过点E作EH⊥BC于点H，

∵OC=OB=3，

∴BC= ，

∵ ，CE=2，

∴ ，

解得EH= ，

∵∠ECH=∠CBO=45°，

∴CH=EH= ，

∴BH=2 ，

∴在Rt△BEH中，

（3）

解：当点M在点D的下方时

设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），

∴BP=2，DP=4，

∴ ，

∵ ，∠CBE、∠BDP均为锐角，

∴∠CBE=∠BDP，

∵△DMB与△BEC相似，

∴ 或 ，

① ，

∵DM=4﹣m， ， ，

∴ ，

解得， ，

∴点M（1， ）

② ，则 ，

解得m=﹣2，

∴点M（1，﹣2），

当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在．

综上所述，点M的坐标为（1， ）或（1，﹣2）．

【解析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据二次函数的性质解答即可；（2）过点E作EH⊥BC于点H，根据轴对称的性质求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出EH、BH，根据正切的定义计算即可；（3）分 和 两种情况，计算即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的概念的相关知识，掌握一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)，则称y为x的二次函数，以及对二次函数的图象的理解，了解二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点．