Question

7．已知：如图，直线y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$与x轴相交于点A，与直线y=$\sqrt{3}$x交于点P．
（1）求点P的坐标．
（2）动点F从原点O出发，以每秒1个单位的速度在线段OA上向点A作匀速运动，连接PF，设运动时间为t秒，△PFA的面积为S，求出S关于t的函数关系式．
（3）若点M是y轴上任意一点，点N是坐标平面内任意一点，若以O、M、N、P为顶点的四边形是菱形，请直接写出点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）联立两直线的解析式求出x、y的值即可得出P点坐标；
（2）先求出A点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）分OP为菱形的边与对角线两种情况进行讨论．

解答 解：（1）∵由已知$\left\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}\\ y=\sqrt{3}x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴P点坐标（2，2$\sqrt{3}$）；

（2）∵直线y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$中，当y=0时，x=4，
∴OA=4，
∴S=$\frac{1}{2}$（OA-t）×2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$（4-t）×$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t（0≤t＜4）；

（3）如图，当OP为平行四边形的边时，
∵P（2，2$\sqrt{3}$），
∴OP=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴N₁（2，2$\sqrt{3}$-4），N₂（2，2$\sqrt{3}$+4），N₃（-2，2$\sqrt{3}$）；
当OP为对角线时，设M（0，a），
则MP=a，即2²+（2$\sqrt{3}$-a）²=a²，解得a=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴N点的纵坐标=2$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴N₄（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
综上所示，N点坐标为N₁（2，2$\sqrt{3}$-4），N₂（2，2$\sqrt{3}$+4），N₃（-2，2$\sqrt{3}$），N₄（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查的是一次函数综合题，涉及到菱形的性质与一次函数的交点问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．