Question

【题目】已知矩形中，，，点、分别在边、上，将四边形沿直线翻折，点、的对称点分别记为、.

（1）当时，若点恰好落在线段上，求的长；

（2）设，若翻折后存在点落在线段上，则的取值范围是______.

Answer 1

【答案】（1）；（2）且.

【解析】

（1）过作于，延长交于点，如图1，易证∽，于是设，则，可得，然后在中根据勾股定理即可求出a的值，进而可得的长，设，则可用n的代数式表示，连接FB、，如图2，根据轴对称的性质易得，再在中，根据勾股定理即可求出n的值，于是可得结果；

（2）仿（1）题的思路，在中，利用勾股定理可得关于x和m的方程，然后利用一元二次方程的根的判别式和二次函数的知识即可求出m的范围，再结合点的特殊位置可得m的最大值，从而可得答案.

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，过作于，延长交于点，如图1，则AB∥CD∥QH，∴∽，∴，

设，则，∴.

在中，∵，∴，解得：或（舍去）.

∴，∴，

设，则，连接FB、，如图2，则，

在中，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴；

（2）如图1，∵，∴，设，则，∴.

在中，∵，∴，

整理，得：，

若翻折后存在点落在线段上，则上述方程有实数根，即△≥0，∴，整理，得：，

由二次函数的知识可得：，或（舍去），

∵，∴，当x=m时，方程即为：，解得：，∴，

又∵当点与点C重合时，m的值达到最大，即当x=0时，，解得：m=1.

∴m的取值范围是：且.

故答案为：且.