Question

【题目】已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，交半圆O于点F，且E为弧DF的中点．

（1）求证：AC是半圆O的切线；

（2）若BC＝8，BE＝6，求半径的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）要证AC是⊙O的切线，只要连接OE，再证DE⊥AC即可；

（2）根据相似三角形的性质即可求出结论．

（1）证明：连接OE．

∵E为 的中点，

∴，

∴∠OBE＝∠CBE，

∵OE＝OB，

∴∠OEB＝∠OBE，

∴∠OEB＝∠CBE，

∴OE∥BC，

∵BC⊥AC，

∴∠C＝90°，

∴∠AEO＝∠C＝90°，即OE⊥AC，

又∵OE为半圆O的半径，

∴AC是半圆O的切线；

（2）∵E为 的中点，

∴，

∴∠OBE＝∠CBE，

∵∠BED＝∠C＝90°，

∴△BDE∽△BEC，

∴,

∴ ，

∴BD＝9，

∴半径的长为．