Question

15．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC、BD相交于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：OC垂直平分BD，
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若cos∠BAD=$\frac{3}{5}$，⊙O的半径为5，求DF的长．

Answer 1

分析 （1）根据AD∥OC可得∠A=∠COB，OC⊥BD，从而判定$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，根据垂径定理即可证得OC垂直平分BD；
（2）连接OD，只要证明∠CDO=90°即可；
（3）在△ADG中用勾股定理求解．

解答 （1）证明：连接OD，BD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB，
∵∠A=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$，
∴OC垂直平分BD．

（2）证明：如图所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，
在△COD和△COB中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠DOE=∠BOE}\\{OC=OC}\end{array}\right.$
∴△COD≌△COB（SAS）；
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切线；

（3）解：在△ADG中，∵cos∠BAD=$\frac{AG}{AD}$，
设AG=3x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴DG=4x；
又∵⊙O的半径为5，
∴OG=5-3x；
∵OD²=DG²+OG²，
∴5²=（4x）²+（5-3x）²；
∴x₁=$\frac{6}{5}$，x₂=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×$\frac{6}{5}$=$\frac{48}{5}$．

点评 本题综合考查了切线的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．