Question

9．如图1，一次函数y=kx+b的图象交x轴、y轴分别于B、A两点，反比例函数y=$\frac{k}{x}（x＜0）$的图象过线段AB的中点C（-2，$\frac{3}{2}$）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如图2，在反比例函数上存在异于C点的一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，在y轴上存在点P，使得S_△ACP=2S_△MNO，请你求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）可先根据待定系数法求得反比例函数解析式，然后根据平行线分线段成比例定理求得OA的值，得出A的坐标，把A，C两点分别代入y=kx+b根据待定系数法即可求得．
（2）设P（0，y），则AP=|y-3|．根据反比例函数系数k的几何意义和已知条件求得S_△ACP=3，然后根据三角形面积公式得到关于y的方程，解方程即可求得y的值．

解答 解：（1）如图1，∵反比例函数y=$\frac{k}{x}（x＜0）$的图象过点C（-2，$\frac{3}{2}$），
∴k=（-2）×$\frac{3}{2}$=-3，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{3}{x}$； 
过点C作CD⊥OB，则CD=$\frac{3}{2}$．
∵CD∥AO，
∴$\frac{BC}{BA}$=$\frac{CD}{AO}$，
即$\frac{1}{2}$=$\frac{\frac{3}{2}}{OA}$，解得：OA=3，
∴A（0，3）．
∵一次函数y=kx+b的图象过点C（-2，$\frac{3}{2}$），A（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=\frac{3}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$．
∴一次函数的表达式为y=$\frac{3}{4}$x+3．
（2）如图2，设P（0，y），AP=|y-3|．
∵S_△MNO=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{1}{2}$×3=$\frac{3}{2}$，
∴S_△ACP=2S_△MNO=2×$\frac{3}{2}$=3，
∴$\frac{1}{2}$×AP×|x_c|=3，即：$\frac{1}{2}$×|y-3|×2=3；
解得：y=6或y=0．
∴P（0，6）或P（0，0）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等，求得A的坐标是解题的关键．