Question

【题目】直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A，B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A，B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值．
（3）如图3，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及延长线相交于E，F，在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AEB的大小不变，

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，

∴∠BAE= ∠OAB，∠ABE= ∠ABO，

∴∠BAE+∠ABE= （∠OAB+∠ABO）=45°，

∴∠AEB=135°

（2）解：∠CED的大小不变．

延长AD、BC交于点F．

∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，

∴∠AOB=90°，

∴∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠PAB+∠MBA=270°，

∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，

∴∠BAD= ∠BAP，∠ABC= ∠ABM，

∴∠BAD+∠ABC= （∠PAB+∠ABM）=135°，

∴∠F=45°，

∴∠FDC+∠FCD=135°，

∴∠CDA+∠DCB=225°，

∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，

∴∠CDE+∠DCE=112.5°，

∴∠E=67.5°

（3）解：∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，

∴∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，

∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO= （∠BOQ﹣∠BAO）= ∠ABO，

∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，

∴∠EAF=90°．

在△AEF中，

∵有一个角是另一个角的3倍，故有：

①∠EAF=3∠E，∠E=30°，∠ABO=60°；

②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°；

③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；

④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°．

∴∠ABO为60°或45°

【解析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE= ∠OAB，∠ABE= ∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；（2）延长AD、BC交于点F，根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可得出∠AOB=90°，进而得出∠OAB+∠OBA=90°，故∠PAB+∠MBA=270°，再由AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，可知∠BAD= ∠BAP，∠ABC= ∠ABM，由三角形内角和定理可知∠F=45°，再根据DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线可知∠CDE+∠DCE=112.5°，进而得出结论；（3）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO= ∠BAO，∠EOQ= ∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形的“三线”的相关知识，掌握1、三角形角平分线的三条角平分线交于一点(交点在三角形内部，是三角形内切圆的圆心，称为内心);2、三角形中线的三条中线线交于一点(交点在三角形内部，是三角形的几何中心，称为中心);3、三角形的高线是顶点到对边的距离；注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内，以及对三角形的内角和外角的理解，了解三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．