Question

在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=108°，点D在边BC上，∠BAD=36°．
（1）求证：△BAD∽△BCA；
（2）求AD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）证明∠B=∠C=36°；结合∠BAD=36°，得到△BAD∽△BCA．
（2）证明BD=AD（设为λ）；证明DC=AC=6；由△BAD∽△BCA，得到

AD

AB

=

AB

AC

，即

λ

6

=

6

λ+6

，求出λ=3

5

-3，即可解决问题．

解答：解：（1）∵AB=AC=6，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=

180°-108°

2

=36°；
∵∠BAD=36°，
∴△BAD∽△BCA．
（2）∵∠B=∠BAD，
∴BD=AD（设为λ）；
∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=108°-36°=72°，
∴∠ADC=∠DAC，DC=AC=6；
∵△BAD∽△BCA，
∴

AD

AB

=

AB

AC

，即

λ

6

=

6

λ+6

，
解得：λ=3

5

-3，
即AD的长=3

5

-3．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等几何知识点．