Question

如图，已知点A（a，0），B（0，b），且（a+2）²+|b-4|=0，以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角△ABC．
（1）填空：a=

 

，b=

 

；
（2）求C点的坐标；
（3）在坐标平面内是否存在点P（不与点C重合），使△PAB与△ABC全等？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标（不需要过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）直接利用绝对值以及偶次方的性质求出a，b的值即可；
（2）利用已知得出△CBE≌△BAO（AAS），进而求出C点坐标；
（3）结合坐标系画出符合题意的图形，利用当P₁A⊥AB，且AB=P₁A，当P₂B⊥AB，且AB=P₂B，当P₃A⊥AB，且AB=P₃A，分别求出即可．

解答：解：（1）∵（a+2）²+|b-4|=0，
∴a+2=0，b-4=0，
解得：a=-2，b=4；
故答案为：-2，4；

（2）如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，

∵∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABO=90°，
∵∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ECB=∠ABO，
在△CBE和△BAO中，

∠BEC=∠AOB ∠ECB=∠OBA BC=AB

，
∴△CBE≌△BAO（AAS），
∴AO=BE，BO=EC，
∵a=2，b=4，
∴BO=CE=4，AO=BE=2，
∴C（-4，6）；

（3）如图2，

当P₁A⊥AB，且AB=P₁A，
则△P₁AB≌△ABC，
故P₁（-6，2），
当P₂B⊥AB，且AB=P₂B，
则△P₂BA≌△ABC，
故P₂（4，2），
当P₃A⊥AB，且AB=P₃A，
则△P₃AB≌△ABC，
故P₃（2，-2）．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及绝对值的性质和偶次方的性质等知识，利用数形结合得出是解题关键．