【题目】某数学活动小组在一次活动中,对一个数字问题作如下研究:
(问题发现)如图①,在等边三角形ABC中,点M是BC上任意一点,连接AM,以AM为边作等边△AMN,连接CN,判断CN和AB的位置关系: ;
(变式探究)如图②,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M是BC边上任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM为边作等腰三角形AMN,使顶角∠AMN=∠ABC,MA=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
(解决问题)如图③,在正方形ADBC中,点M为BC边上一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中心,连接CN,若正方形ADBC的边长为8,CN=,直接写出正方形AMEF的边长.
【答案】【问题发现】证明见解析;
【变式探究】∠ABC=∠ACN,理由见解析;
【解决问题】正方形AMEF的边长为10.
【解析】
【问题发现】
根据△ABC,△AMN为等边三角形,得到AB=AC,AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM,即∠BAM=∠CAN,证明△BAM≌△CAN,即可得到BM=CN.
【变式探究】根据△ABC,△AMN为等腰三角形,得到AB:BC=1:1且∠ABC=∠AMN,根据相似三角形的性质得到,利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN,根据相似三角形的性质即可得到结论;
【解决问题】根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,根据相似三角形的性质得出,得到BM=2,CM=6,再根据勾股定理即可得到答案.
解:【问题发现】CN∥AB,
∵△ABC与△MN是等边三角形,
∴AB=AC,AM=AN,∠BAC=∠MAN=60°,
∴∠BAM=∠CAN,
在△ABM与△ACN中, ,
∴△ABM≌△ACN,
∴∠B=∠ACN=60°,
∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°,
∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°,
∴CN∥AB;
【变式探究】
∠ABC=∠ACN,
理由:∵ =1且∠ABC=∠AMN,
∴△ABC~△AMN,
∴ ,
∵AB=BC,
∴∠BAC= ,
∵AM=MN
∴∠MAN= ,
∵∠B=∠AMN,
∴∠BAM=∠CAN,
∴△ABM~△ACN,
∴∠ABC=∠ACN;
【解决问题】
∵四边形ADBC,AMEF为正方形,
∴∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,
∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC
即∠BAM=∠CAN,
∵
∴ ,
∴△ABM~△ACN
∴ ,
∴
∴ ,
∴BM=2,
∴CM=6
在Rt△AMC,AC=8,CM=6,
答:正方形AMEF的边长为10.
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【题目】已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,那么几秒后,△PBQ的面积等于6cm2?
(2)在(1)中,△PQB的面积能否等于8cm2?说明理由.
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【题目】如图,在△ACD中,∠ACD=90°,AC=b,CD=a,AD=c,点B在CD的延长线上
(1)求证:关于x的一元二次方程必有实数根
(2)当b=3,CB=5时.将线段AD绕点D顺时针旋转90°,得到线段DE,连接BE,则当a的值为多少时,线段BE的长最短,最短长度是多少?
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【题目】某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数(利润=售价﹣制造成本).
(1)写出每月的利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?
(3)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,-2),B两点.
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标;
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标.
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【题目】如图,正方形ABCD中,BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别交AE,AF于M,N.下列结论:①AF⊥BG;②BN=NF;③;④S四边形CGNF=S四边形ANGD.其中正确的结论的序号是 .
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【题目】下列说法:①位似图形都相似;②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到;③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2;④两个相似多边形的面积比为4:9,则周长的比为16:81中,正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图所示的抛物线是二次函数(a≠0)的图象,则下列结论:①abc>0;②b+2a=0;③抛物线与x轴的另一个交点为(4,0);④a+c>b;⑤3a+c<0.其中正确的结论有
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
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【题目】如图,王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD,当他走到点P时,发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部,当他向前再步行12m到达Q点时,发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部.已知王华同学的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9.6m.
(1)求两个路灯之间的距离;
(2)当王华同学走到路灯BD处时,他在路灯AC下的影子长是多少?
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