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【题目】某数学活动小组在一次活动中,对一个数字问题作如下研究:

(问题发现)如图①,在等边三角形ABC中,点MBC上任意一点,连接AM,以AM为边作等边△AMN,连接CN,判断CNAB的位置关系:   

(变式探究)如图②,在等腰三角形ABC中,BABC,点MBC边上任意一点(不含端点BC),连接AM,以AM为边作等腰三角形AMN,使顶角∠AMN=∠ABCMAMN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.

(解决问题)如图③,在正方形ADBC中,点MBC边上一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中心,连接CN,若正方形ADBC的边长为8CN,直接写出正方形AMEF的边长.

【答案】【问题发现】证明见解析;

【变式探究】∠ABC=∠ACN,理由见解析;

【解决问题】正方形AMEF的边长为10

【解析】

【问题发现】

根据△ABC,△AMN为等边三角形,得到AB=ACAM=AN且∠BAC=MAN=60°从而得到∠BAC-CAM=MAN-CAM,即∠BAM=CAN,证明△BAM≌△CAN,即可得到BM=CN
【变式探究】根据△ABC,△AMN为等腰三角形,得到ABBC=11且∠ABC=AMN,根据相似三角形的性质得到,利用等腰三角形的性质得到∠BAC=MAN,根据相似三角形的性质即可得到结论;
【解决问题】根据正方形的性质得到∠ABC=BAC=45°,∠MAN=45°,根据相似三角形的性质得出,得到BM=2CM=6,再根据勾股定理即可得到答案.

解:【问题发现】CNAB

∵△ABC与△MN是等边三角形,

ABACAMAN,∠BAC=∠MAN60°

∴∠BAM=∠CAN

在△ABM与△ACN中,

∴△ABM≌△ACN

∴∠B=∠ACN60°

∵∠ANC+ACN+CAN=∠ANC+60°+CAN180°

∴∠ANC+MAN+BAM=∠ANC+60°+CAN=∠BAN+ANC180°

CNAB

【变式探究】

ABC=∠ACN

理由:∵1且∠ABC=∠AMN

∴△ABC~△AMN

ABBC

∴∠BAC

AMMN

∴∠MAN

∵∠B=∠AMN

∴∠BAM=∠CAN

∴△ABM~△ACN

∴∠ABC=∠ACN

【解决问题】

∵四边形ADBCAMEF为正方形,

∴∠ABC=∠BAC45°,∠MAN45°

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM=∠CAN

∴△ABM~△ACN

BM2

CM6

RtAMCAC8CM6

答:正方形AMEF的边长为10

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