【题目】如图,正方形ABCD中,BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别交AE,AF于M,N.下列结论:①AF⊥BG;②BN=NF;③;④S四边形CGNF=S四边形ANGD.其中正确的结论的序号是 .
【答案】①③.
【解析】
试题分析:①易证△ABF≌△BCG,即可解题;②易证△BNF∽△BCG,即可求得的值,即可解题;③作EH⊥AF,令AB=3,即可求得MN,BM的值,即可解题;④连接AG,FG,根据③中结论即可求得S四边形CGNF和S四边形ANGD,即可解题.
①∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=CD,
∵BE=EF=FC,CG=2GD,∴BF=CG,
∵在△ABF和△BCG中,,
∴△ABF≌△BCG,∴∠BAF=∠CBG,
∵∠BAF+∠BFA=90°,∴∠CBG+∠BFA=90°,即AF⊥BG;①正确;
②∵在△BNF和△BCG中,,
∴△BNF∽△BCG,∴,∴BN=NF;②错误;
③作EH⊥AF,令AB=3,则BF=2,BE=EF=CF=1,
AF=,
∵S△ABF=AFBN=ABBF,∴BN=,NF=BN=,
∴AN=AF﹣NF=,∵E是BF中点,
∴EH是△BFN的中位线,∴EH=,NH=,BN∥EH,
∴AH=,,解得:MN=,
∴BM=BN﹣MN=,MG=BG﹣BM=,∴,③正确;
④连接AG,FG,根据③中结论,
则NG=BG﹣BN=,∵S四边形CGNF=S△CFG+S△GNF=CGCF+NFNG=1+,
S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=ANGN+ADDG=,∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD,④错误;
故答案为 ①③.
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【题目】如图在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),点p为边AB上的一点,CPB=60°,沿CP折叠正方形后,点B落在平面内B’处,B’的坐标为( )
A.(2, 2)B.(, 2-2)C.(2, 4-2)D.(, 4-2)
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【题目】如图,反比例函数y=的图象过点A(1,1),将其图象沿直线y=x平移到点B(2,2)处,过点作BC⊥x轴,交原图象于点D,则阴影部分(△ABD)的面积为_____.
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【题目】某数学活动小组在一次活动中,对一个数字问题作如下研究:
(问题发现)如图①,在等边三角形ABC中,点M是BC上任意一点,连接AM,以AM为边作等边△AMN,连接CN,判断CN和AB的位置关系: ;
(变式探究)如图②,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M是BC边上任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM为边作等腰三角形AMN,使顶角∠AMN=∠ABC,MA=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
(解决问题)如图③,在正方形ADBC中,点M为BC边上一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中心,连接CN,若正方形ADBC的边长为8,CN=,直接写出正方形AMEF的边长.
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【题目】如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(1,1),C(4,3).
(1)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1;并写出A1、B1、C1三点的坐标.
(2)求出(1)中C点旋转到C1点所经过的路径长(结果保留π).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,点D是边BC的中点,点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合),沿DE翻折△DBE,使点B落在点F处,连接AF,则当线段AF的长取最小值时,tan∠FBD是____.
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