【题目】如图,在△ACD中,∠ACD=90°,AC=b,CD=a,AD=c,点B在CD的延长线上
(1)求证:关于x的一元二次方程必有实数根
(2)当b=3,CB=5时.将线段AD绕点D顺时针旋转90°,得到线段DE,连接BE,则当a的值为多少时,线段BE的长最短,最短长度是多少?
【答案】(1)见解析;(2)当a=1时,线段BE最短,最短长度是
【解析】
(1)根据勾股定理得到,代入一元二次方程根的判别式得,即可得证;
(2)过E作EF⊥BC于F,根据余角的性质得到∠DEF=∠ADC,根据全等三角形的性质得到DF=AC=b=3,EF=CD,设CD=x,则,于是得出结论.
(1)证明: 在Rt△ACD中,由勾股定理得:,即
∴关于x的一元二次方程必有实数根
(2)过E作EF⊥BC于F,如图
∵∠C=∠ADE=90°
∴∠EFD=∠C=90°,∠FED+∠EDF=90°,∠EDF+∠ADC=90°
∴∠DEF=∠ADC
在△EDF和△DAC中
∴△EDF≌△DAC(AAS)
∴DF=AC=b=3,EF=CD
设CD=x,则
∴的最小值是2
∴当CD=1时,BE的最小值是
即当a=1时,线段BE最短,最短长度是
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于,B两点,其中点A在y轴上,点B坐标为(﹣4,﹣5),点P为y轴左侧的抛物线上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交AB于点D.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)以O,A,P,D为顶点的平行四边形是否存在若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在中,,,.
(1)点从点开始沿边向以的速度移动,点从点开始沿边向点以的速度移动.如果点,分别从,同时出发,经过几秒,的面积等于?
(2)点从点开始沿边向点以的速度移动,点从点开始沿边向点以的速度移动.如果点,分别从,同时出发,线段能否将分成面积相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能,请说明理由.
(3)若点沿线段方向从点出发以的速度向点移动,点沿射线方向从点出发以的速度移动,,同时出发,问几秒后,的面积为?
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【题目】有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160天,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售。
(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式;
(2)若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式;
(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元?
(利润=销售总额-收购成本-各种费用)
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【题目】如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点、、.
(1)请完成如下操作:①以点为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长,建立平面直角坐标系;②根据图形提供的信息,标出该圆弧所在圆的圆心,并连接、.
(2)请在(1)的基础上,完成下列填空:
①写出圆心点的坐标:( , );
②的半径= (结果保留根号);
③若扇形是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面的面积为 ;(结果保留)
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【题目】某数学活动小组在一次活动中,对一个数字问题作如下研究:
(问题发现)如图①,在等边三角形ABC中,点M是BC上任意一点,连接AM,以AM为边作等边△AMN,连接CN,判断CN和AB的位置关系: ;
(变式探究)如图②,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M是BC边上任意一点(不含端点B,C),连接AM,以AM为边作等腰三角形AMN,使顶角∠AMN=∠ABC,MA=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
(解决问题)如图③,在正方形ADBC中,点M为BC边上一点,以AM为边作正方形AMEF,点N为正方形AMEF的中心,连接CN,若正方形ADBC的边长为8,CN=,直接写出正方形AMEF的边长.
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【题目】某单位750名职工积极参加向贫困地区学校捐书活动,为了解职工的捐数量,采用随机抽样的方法抽取30名职工作为样本,对他们的捐书量进行统计,统计结果共有4本、5本、6本、7本、8本五类,分别用A、B、C、D、E表示,根据统计数据绘制成了如图所示的不完整的条形统计图,由图中给出的信息解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)求这30名职工捐书本数的平均数、众数和中位数;
(3)估计该单位750名职工共捐书多少本?
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