Question

四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图．它是由四个相同的直角三角形（Rt△AED，Rt△BFA，Rt△CGB，Rt△DHC）与中间的小正方形EFGH拼成的，
（1）试说明拼成的四边形ABCD是正方形．
（2）若四边形ABCD的面积为13．每个直角三角形两直角边的和为5，求中间小正方形EFGH的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质

专题：

分析：（1）根据Rt△AED≌Rt△BFA≌Rt△CGB≌Rt△DHC，即可证得四边形ABCD是正方形；
（2）设直角三角形的直角边中长边为a，短边为b，根据大正方形面积为13和a+b=5列出方程组，解方程组即可解题．

解答：解：（1）∵Rt△AED≌Rt△BFA≌Rt△CGB≌Rt△DHC，
∴AB=BC=CD=DA，∠BAF=∠ADE=∠DCH=∠CBG，∠ABF=∠DAE=∠CDH=∠BCG，
∵∠BAF+∠ABF=∠ADE+∠DAE=∠DCH+∠CDH=∠CBG+∠BCG=90°，
∴∠BAF+∠DAE=∠ADE+∠CDH=∠DCH+∠BCG=∠CBG+∠ABF=90°，
∴∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，
则存在

a2+b2=13 a+b=5

，
解得

a=3 b=2

．
则小正方形EFGH的面积为（3-2）²=1．
答：小正方形的EFGH面积为1．

点评：本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理在直角三角形中的灵活应用，正确列出方程组并且求解是解题的关键．