Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点在坐标轴上，A，B，C三点的坐标分别为 (0，2)，(1，0)，(0，-0．5)，D为线段AB上-个动点(不与点A，B重合)，过B，D，0三点的圆与直线BC交于点E，当△OED面积取得最小值时，ED的长为________．

Answer 1

【答案】1

【解析】

如图，先证明△AOB∽△BOC得到∠1=∠2，再判断∠DBE=90°，利用圆周角定理可得到DE为过B，D，O三点的圆的直径，从而得到∠DOE=90°，接着证明△AOD∽△BOE，利用相似比得到OD=2OE，根据三角形面积公式得到S△ODE=OE2，利用垂线段最短判断当△OED面积取得最小值时，OE⊥CB，然后计算OE、OD，最后利用勾股定理计算对应的DE长．

如图，

∵A，B，C三点的坐标分别为（0，2），（1，0），（0，-0.5），
∴OA=2，OB=1，OC=，

∵=2，

而∠AOB=∠BOC，

∴△AOB∽△BOC，

∴∠1=∠2，

∴∠ABC=∠2+∠5=∠1+∠5=90°，

∵∠DBE=90°，

∴DE为过B，D，O三点的圆的直径，

∴∠DOE=90°，

∵∠3+∠BOD=∠4+∠BOD=90°，

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠2，

∴△AOD∽△BOE，

∴，即OD=2OE，

∵S△ODE=ODOE=2OEOE=OE2，

当△OED面积取得最小值时，OE最小，此时OE⊥CB，

∵BC=，

∴OE==，

此时OD=2OE=，

∴DE=，

即当△OED面积取得最小值时，ED的长为1．
故答案为1．