Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y=-x2+bx+c与线段AB交于点E，并经过原点O，且点E的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线上是否存在点C，使得以AC为直径的圆恰好经过点B，若存在，求出所有满足条件的点C的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)若D是第(2)小题中圆上的动点，直线y=x+m经过点D，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)y=；(2)点C(3,1)或；(3)≤m≤或.

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点E的坐标，由点O，E的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，过点B作BC⊥AB，交抛物线于点C，交y轴于点F，则△AOB∽△BOF，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，由点B，F的坐标利用待定系数法可求出直线BC的表达式，联立直线BC与抛物线的表达式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标；

（3）设线段AC1的中点为M，过点M作D1D2∥AB交⊙M于点D1，D2，过点D1作D1P1∥BC交y轴于点P1，过点D2作D2P2∥BC交y轴于点P2，过点M作MN∥BC交y轴于点N，过点P1作P1P3⊥D2P2于点P3，则四边形D1P1P3D2为矩形，△OAB∽△P3P1P2，由点A，C1的坐标可得出点M的坐标及AC1的长度，结合直线BC的表达式可求出直线MN的表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点N的坐标，由△OAB∽△P3P1P2利用相似三角形的性质可得出P1P2的长度，由点M为线段D1D2的中点可得出点N为线段P1P2的中点，结合点N的坐标及P1P2的长度可得出点P1，P2的坐标，进而可得出m的取值范围．

（1）∵ 直线y=-2x+2经过点E，点E的横坐标为，

∴当x=时，y=-2×+2=1，

∴点E(，1)，

∵ 抛物线y=-x2+bx+c与线段AB交于点E，并经过原点O，

∴c=0，

∴，

解之：b=，

∴抛物线的解析式为：y=；

（2）∵ 直线y=-2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，

当x=0时，y=2，

∴点A(0，2)，

当y=0时，-2x+2=0，

解之：x=1，

∴点B(1，0)，

∵ 以AC为直径的圆恰好经过点B，

∴AB⊥BC，

∴KAB·KBC=-1，

∵ yAB=-2x+2，

设BC的函数解析式为：yBC=， 将点B代入得，

解之：b=，

∴yBC=，

解方程组，得或，

∴点C(3，1)或；

（3）∵点A(0，2)，C(3，1)，AC是直径，

∴圆心O的坐标为：，

当直线与圆O1相切于点M时，

∴，

∴，

解之：x=，

∴点M(， )

∴r=O1M=，

∴，

整理得：16m2-24m-41=0，

解之：m1=， m2=，

∴≤m≤，

同理可得，

∴≤m≤或