Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直线y＝﹣3x﹣4与反比例函数y＝交于点A，交y轴于C点．

（1）求k的值；

（2）点D与点O关于AB对称，连接AD、CD，证明△ACD是直角三角形；

（3）在（2）的条件下，点E在反比例函数图象上，若S△OCE＝S△OCD，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）-4；（2）见解析；（3）点E的坐标为（﹣4，1）．

【解析】

（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标，利用待定系数法求出k；
（2）先求出点D的坐标，求出∠ADB=45°，∠ODC=45°，从而得解；
（3）设出点E的坐标，根据三角形的面积公式解答．

（1）设点B的坐标为（a，0），

∵∠ABO＝90°，AB＝BO，

∴点A的坐标为（a，﹣a），

∵点A在直线y＝﹣3x﹣4上，

∴﹣a＝﹣3a﹣4，

解得，a＝﹣2，

即点A的坐标为（﹣2，2），

∵点A在反比例函数y＝上，

∴k＝﹣4；

（2）∵点D与点O关于AB对称，

∴点D的坐标为（﹣4，0）

∴OD＝4，

∴DB＝BA＝2，

则∠ADB＝45°，

∵直线y＝﹣3x﹣4交y轴于C点，

∴点C的坐标为（0，﹣4），

∴OD＝OC，

∴∠ODC＝45°，

∴∠ADC＝∠ADB+∠ODC＝90°，

即△ACD是直角三角形；

（3）设点E的坐标为（m，﹣），

∵S△OCE＝S△OCD，

∴×4×4＝×4×（﹣m），

解得，m＝﹣4，

∴﹣=1，

∴点E的坐标为（﹣4，1）．