Question

【题目】已知中，如果过项点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．例如：如图1，中，，，若过顶点的一条直线交于点，若，显然直线是的关于点的二分割线．

（1）在图2的中，，．请在图2中画出关于点的二分割线，且角度是 ；

（2）已知，在图3中画出不同于图1，图2的，所画同时满足:①为最小角；②存在关于点的二分割线．的度数是 ；

（3）已知，同时满足：①为最小角；②存在关于点的二分割线．请求出的度数（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析，；（3）∠A=45°或90°或90°－2α或，或α＝45°时45°＜∠BAC＜90°．

【解析】

（1）根据二分割线的定义，只要把∠ABC分成90°角和20°角即可；

（2）可以画出∠A=35°的三角形；

（3）设BD为△ABC的二分割线，分以下两种情况．第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形；第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可．

解：（1）关于点的二分割线BD如图4所示，；

故答案为：20°；

（2）如图所示：∠BAC=35°；

（3）设BD为△ABC的二分割线，分以下两种情况．

第一种情况：△BDC是等腰三角形，△ABD是直角三角形，易知∠C和∠DBC必为底角，

∴∠DBC＝∠C＝．

当∠A＝90°时，△ABC存在二分分割线；

当∠ABD＝90°时，△ABC存在二分分割线，此时∠A＝90°－2α；

当∠ADB＝90°时，△ABC存在二分割线，此时α＝45°且45°＜∠A＜90°；

第二种情况：△BDC是直角三角形，△ABD是等腰三角形，

当∠DBC＝90°时，若BD＝AD，则△ABC存在二分割线，此时；

当∠BDC＝90°时，若BD＝AD，则△ABC存在二分割线，此时∠A＝45°，

综上，∠A=45°或90°或90°－2α或，或α＝45°时，45°＜∠BAC＜90°．