Question

【题目】如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为，顶点C的坐标为．

求二次函数的解析式和直线BD的解析式；

点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；

在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使中BD边上的高为？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）PM有最大值；；（3）存在满足条件的点Q，其坐标为或．

【解析】

（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；

（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；

（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．

（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），

∴可设抛物线解析式为y=a（x-1）2+4，

∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，

∴0=a（3-1）2+4，解得a=-1，

∴抛物线解析式为y=-（x-1）2+4，即y=-x2+2x+3，

∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，

∴D点坐标为（0，3），

∴可设直线BD解析式为y=kx+3，

把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=-1，

∴直线BD解析式为y=-x+3；

（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，-m+3），M（m，-m2+2m+3），

∴PM=-m2+2m+3-（-m+3）=-m2+3m=-（m-）2+，

∴当m=时，PM有最大值；

（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，-x2+2x+3），则G（x，-x+3），

∴QG=|-x2+2x+3-（-x+3）|=|-x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°，

∴∠HGQ=∠BGE=45°，

当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，

∴QG=×2=4，

∴|-x2+3x|=4，

当-x2+3x=4时，△=9-16＜0，方程无实数根，

当-x2+3x=-4时，解得x=-1或x=4，

∴Q（-1，0）或（4，-5），

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（-1，0）或（4，-5）．