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【题目】如图,在半径为4的⊙O中,CD为直径,AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

连接ACAOABCD利用垂径定理得到GAB的中点由中点的定义确定出OG的长在直角三角形AOGAOOG的长利用勾股定理求出AG的长进而确定出AB的长CO+GO求出CG的长在直角三角形AGC利用勾股定理求出AC的长CF垂直于AE得到三角形ACF始终为直角三角形F的运动轨迹为以AC为直径的半径如图中红线所示E位于点BCGAE此时FG重合E位于DCAAE此时FA重合可得出当点E从点B出发顺时针运动到点DF所经过的路径长在直角三角形ACG利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数进而确定出所对圆心角的度数再由AC的长求出半径利用弧长公式即可求出的长即可求出点F所经过的路径长

连接ACAO

ABCDGAB的中点AG=BG=AB

∵⊙O的半径为4ABCD且过半径OD的中点OG=2∴在RtAOG根据勾股定理得AG==2AB=2AG=4

又∵CG=CO+GO=4+2=6∴在RtAGC根据勾股定理得AC==4

CFAE∴△ACF始终是直角三角形F的运动轨迹为以AC为直径的半圆E位于点BCGAE此时FG重合E位于DCAAE此时FA重合∴当点E从点B出发顺时针运动到点DF所经过的路径长.在RtACGtanACG==∴∠ACG=30°,所对圆心角的度数为60°.

∵直径AC=4的长为=π,则当点E从点B出发顺时针运动到点DF所经过的路径长为π.

故选D

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