【题目】如图,在半径为4的⊙O中,CD为直径,AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点F.当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
连接AC,AO,由AB⊥CD,利用垂径定理得到G为AB的中点,由中点的定义确定出OG的长,在直角三角形AOG中,由AO与OG的长,利用勾股定理求出AG的长,进而确定出AB的长,由CO+GO求出CG的长,在直角三角形AGC中,利用勾股定理求出AC的长,由CF垂直于AE,得到三角形ACF始终为直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半径,如图中红线所示,当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长,在直角三角形ACG中,利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数,进而确定出所对圆心角的度数,再由AC的长求出半径,利用弧长公式即可求出的长,即可求出点F所经过的路径长.
连接AC,AO.
∵AB⊥CD,∴G为AB的中点,即AG=BG=AB.
∵⊙O的半径为4,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,∴OG=2,∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:AG==2,∴AB=2AG=4.
又∵CG=CO+GO=4+2=6,∴在Rt△AGC中,根据勾股定理得:AC==4.
∵CF⊥AE,∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长.在Rt△ACG中,tan∠ACG==,∴∠ACG=30°,∴所对圆心角的度数为60°.
∵直径AC=4,∴的长为=π,则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为π.
故选D.
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【题目】(1)如图①,已知线段,以为一边作等边 (尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图②,已知,,,分别以为边作等边和等边,连接,求的最大值;
(3)如图③,已知,,,,为内部一点,连接,求出的最小值.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=6 cm,动点P从点C出发,以每秒2 cm的速度按C→A的路径运动,设运动时间为t秒.
(1)出发2秒时,△ABP的面积为 cm2;
(2)当t为何值时,BP恰好平分∠ABC?
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【题目】端午节当天,小明带了四个粽子(除味道不同外,其它均相同),其中两个是大枣味的,另外两个是火腿味的,准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友.
(1)请你用树状图或列表的方法表示小红拿到的两个粽子的所有可能性;
(2)请你计算小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率.
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【题目】如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交于点A,B,把抛物线与线段AB围成的图形记为C1, 将Cl绕点B中心对称变换得C2, C2与x轴交于另一点C,将C2绕点C中心对称变换得C3, 连接C与C3的顶点,则图中阴影部分的面积为( )
A. 32 B. 24 C. 36 D. 48
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【题目】如图,AD是△ABC的中线,E,F分别是AD和AD延长线上的点,且DE=DF,连接BF,CE,下列说法:①△ABD 和△ACD面积相等;②∠BAD=∠CAD;③△BDF≌△CDE;④BF∥CE;⑤CE=AE.其中正确的是( )
A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤
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【题目】如图,在中,,与的平分线交于点,得;与的平分线相交于点,得;……;与的平分线交于点,要使的度数为整数,则的最大值为( )
A.4B.5C.6D.7
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:(1)b2﹣4ac>0;(2)abc>0;(3)8a+c>0;(4)6a+3b+c>0,其中正确的结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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【题目】工人师傅用一块长为10dm,宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕;并求长方体底面面积为12dm2时,裁掉的正方形边长多大?
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理,侧面每平方分米的费用为0.5元,底面每平方分米的费用为2元,裁掉的正方形边长多大时,总费用最低,最低为多少?
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