Question

20．如图，△ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD．求证：CD⊥AC．

Answer 1

分析 过D作DE⊥AB于E，根据等腰三角形性质推出AE=$\frac{1}{2}$AB，∠DEA=90°，求出AE=AC，根据SAS证△DEA≌△DCA，推出∠ACD=∠AED即可．

解答 解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD=BD DE⊥AB
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，∠DEA=90°，
∵2AC=AB
∴AE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD，
在△DEA和△DCA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△DEA≌△DCA，
∴∠ACD=∠AED，
∴∠ACD=90°，
∴AC⊥DC．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出△DEA≌△DCA，主要培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较好，难度适中．