Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x-3 顶点是（1,-4）；（2）直角三角形；（3）点P在该抛物线上滑动至（，4）或（，4）或（1，-4）时，满足S⊿PAB=8.

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C、三点坐标代入求出a、b、c的值即可得答案.（2）过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，根据B、C、D三点的坐标可求出BD、CD、BC的长，根据三边的长即可判断△BCD的形状.（3）设P的纵坐标为，利用三角形面积可求出P点的纵坐标，代入解析式可求出横坐标即可.

（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c

∴依题意得： 解得

∴抛物线解析式为：y=x2-2x-3 顶点是（1,-4）

（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形。

过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F

在Rt⊿BOC中，OB=3，OC=3，

∴BC2=18

在Rt⊿CDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1

CD2=2

在Rt⊿BDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，

∴BD2=20

∴BC2+CD2=BD2，故⊿BCD为直角三角形。

（3）设P的纵坐标为

∵S⊿PAB=8

∴AB·=8

∵AB=3+1=4

∴=4

∴yp=

把yp=4代入解析式得4=x2-2x-3，解得：x=

把yp=-4代入解析式得-4=x2-2x-3，解得：x=1

∴点P在该抛物线上滑动至（，4）或（，4）或（1，-4）时，满足S⊿PAB=8