Question

8．如图，已知点C在线段AB上，在AB的同侧作等边三角形△ACM和△BCN，连接AN，BM．
（1）求证：△CAN≌△CMB；
（2）已知∠NBM=35°，求∠ANB的度数；
（3）若∠NBM=n°，请用含n的代数式表示∠ANB的度数．

Answer 1

分析 （1）由△AMC和△CNB都为等边三角形，可得出AC=MC，CB=CN，且∠ACM=∠MCB=60°，利用等式的性质得到一对角相等，再利用SAS可得出△CAN≌△CMB；
（2）根据角的和差得到∠CBM=25°，根据全等三角形的性质得到∠ANC=∠CBM=25°，根据角的和差即可得到结论；
（3）根据角的和差得到∠CBM=（60-n）°，根据全等三角形的性质得到∠ANC=∠CBM=（60-n）°，根据角的和差即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△AMC和△CNB都为等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠MCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠MCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=MC}\\{∠ACN=∠MCB}\\{CN=CB}\end{array}\right.$，
∴△CAN≌△CMB（SAS）；

（2）解：∵∠CBN=60°，∠NBM=35°，
∴∠CBM=25°，
∵△CAN≌△CMB，
∴∠ANC=∠CBM=25°，
∵∠CNB=60°，
∴∠ANB=85°；

（3）解：∵∠CBN=60°，∠NBM=n°，
∴∠CBM=（60-n）°，
∵△CAN≌△CMB，
∴∠ANC=∠CBM=（60-n）°，
∵∠CNB=60°，
∴∠ANB=60°+（60-n）°；
∴∠ANB=（120-n）°．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全是三角形的性质定理是解题的关键．