Question

【题目】在平面直角坐标系中，如图1，将线段AB平移至线段CD，连接AC、BD．

（1）已知A（﹣3，0）、B（﹣2，﹣2），点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且三角形ACO的面积是6，求点C、D的坐标；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知一定点M（1，0），两个动点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）．

①请你探索是否存在以两个动点E、F为端点的线段EF平行于线段OM且等于线段OM，若存在，求出点E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由；

②当点E、F重合时，将该重合点记为点P，另当过点E、F的直线平行于x轴时，是否存在△PEF的面积为2？若存在，求出点E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐标为（0，4），点D的坐标为（1，2）；（2）①点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；②存在△PEF的面积为2，点E、F两点的坐标为E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）．

【解析】

（1）由点A和点C在y轴上确定出向右平移3个单位，再根据△ACD的面积求出向上平移的单位，然后写出点C、D的坐标即可．

（2）①根据线段EF平行于线段OM且等于线段OM，得出2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，解答即可；

②首先根据题意求出点P的坐标为（，2），设点E在F的左边，由EF∥x轴得出a+b＝1，求出△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，得出（b﹣a）|2a﹣1|＝4，当EF在点P的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：，此方程组无解；当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+b＝1联立得：，解得：，或；分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）即可．

解：（1）∵A（﹣3，0），点C在y轴的正半轴上，

∴向右平移3个单位，

设向上平移x个单位，

∵S△ACO＝OA×OC＝6，

∴×3x＝6，

解得：x＝4，

∴点C的坐标为（0，4），

﹣2+3＝1，﹣2+4＝2，

故点D的坐标为（1，2）．

（2）①存在；理由如下：

∵线段EF平行于线段OM且等于线段OM，

∴2a+1＝﹣2b+3，|a﹣b|＝1，

解得：a＝1，b＝0或a＝0，b＝1，

即点E的坐标为（1，3），F的坐标为（0，3）或点E的坐标为（0，1），F的坐标为（1，1）；

②存在，理由如下：如图2所示：

当点E、F重合时，，

解得：，

∴2a+1＝2，

∴点P的坐标为（，2），

设点E在F的左边，

∵EF∥x轴，

∴2a+1＝﹣2b+3，

∴a+b＝1，

∵△PEF的面积＝（b﹣a）×|2a+1﹣2|＝2，

即（b﹣a）|2a﹣1|＝4，

当EF在点P的上方时，（b﹣a）（2a﹣1）＝4，与a+b＝1联立得：，此方程组无解；

当EF在点P的下方时，（b﹣a）（1﹣2a）＝4，与a+＝1联立得：，

解得：，或；

分别代入点E（a，2a+1）、F（b，﹣2b+3）得：E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）；

综上所述，存在△PEF的面积为2，点E、F两点的坐标为E（﹣，0）、F（，0），或E（，4）、F（﹣，4）．