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【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣ x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.

(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:将点A、B坐标代入抛物线解析式,得:

,解得

∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+4x+5


(2)

解:∵点P的横坐标为m,

∴P(m,﹣m2+4m+5),E(m,﹣ m+3),F(m,0).

∴PE=|yP﹣yE|=|(﹣m2+4m+5)﹣(﹣ m+3)|=|﹣m2+ m+2|,

EF=|yE﹣yF|=|(﹣ m+3)﹣0|=|﹣ m+3|.

由题意,PE=5EF,即:|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=| m+15|

①若﹣m2+ m+2= m+15,整理得:2m2﹣17m+26=0,

解得:m=2或m=

②若﹣m2+ m+2=﹣( m+15),整理得:m2﹣m﹣17=0,

解得:m= 或m=

由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m= 、m= 这两个解均舍去.

∴m=2或m=


(3)

解:假设存在.

作出示意图如下:

∵点E、E′关于直线PC对称,

∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.

∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,

∴∠2=∠3,∴PE=CE,

∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.

当四边形PECE′是菱形存在时,

由直线CD解析式y=﹣ x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.

过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO,

,即 ,解得CE= |m|,

∴PE=CE= |m|,又由(2)可知:PE=|﹣m2+ m+2|

∴|﹣m2+ m+2|= |m|.

①若﹣m2+ m+2= m,整理得:2m2﹣7m﹣4=0,解得m=4或m=﹣

②若﹣m2+ m+2=﹣ m,整理得:m2﹣6m﹣2=0,解得m1=3+ ,m2=3﹣

由题意,m的取值范围为:﹣1<m<5,故m=3+ 这个解舍去.

当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时,

此时P点横坐标为0,E,C,E'三点重合与y轴上,也符合题意,

∴P(0,5)

综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(0,5),(﹣ ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3)

方法二:

若E(不与C重合时)关于直线PC的对称点E′在y轴上,则直线CD与直线CE′关于PC轴对称.

∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上,

∴DD′⊥CP,∵y=﹣ x+3,

∴D(4,0),CD=5,

∵OC=3,

∴OD′=8或OD′=2,

①当OD′=8时,D′(0,8),设P(t,﹣t2+4t+5),D(4,0),C(0,3),

∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD=﹣1,

∴2t2﹣7t﹣4=0,

∴t1=4,t2=﹣

②当OD′=2时,D′(0,﹣2),

设P(t,﹣t2+4t+5),

∵PC⊥DD′,∴KPC×KDD=﹣1,

=﹣1,

∴t1=3+ ,t2=3﹣

∵点P是x轴上方的抛物线上一动点,

∴﹣1<t<5,

∴点P的坐标为(﹣ ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3).

若点E与C重合时,P(0,5)也符合题意.

综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(0,5),(﹣ ),(4,5),(3﹣ ,2 ﹣3)


【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)用含m的代数式分别表示出PE、EF,然后列方程求解;(3)解题关键是识别出当四边形PECE′是菱形,然后根据PE=CE的条件,列出方程求解;当四边形PECE′是菱形不存在时,P点y轴上,即可得到点P坐标.

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