Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点M、N分别在线段DA、BA的延长线上，且BD=BN=DM，连接BM、DN并延长交于点P．

（1）求证：∠P=90°﹣∠C；

（2）当∠C=90°，ND=NP时，判断线段MP与AM的数量关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）

【解析】分析（1）首先过点B作BF⊥PD于点F，过点D作DG⊥BP于点G，BF与DG交于点H，由BD=BN=DM，可得BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线，又由四边形内角和为360°，可得∠P+∠FHG=180°，继而可得∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+∠C，则可证得结论；

（2）首先过点P作PS⊥CD于点S，PR⊥BC于点R，易证得△PKD≌△PSD（AAS），同理：△PKB≌△PRB，然后延长BN交QS于点Q，则Q为PS的中点，设QS=PQ=x，即可求得答案．

详解（1）证明：过点B作BF⊥PD于点F，过点D作DG⊥BP于点G，BF与DG交于点H，

∴∠FHG+∠P=180°，

∴∠DHB+∠P=180°，

∴∠DHB=180°﹣∠P，

∵BD=BN=DM，

∴BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线，

∴由四边形内角和为360°，可得∠P+∠FHG=180°，

∵∠DHB=180°﹣（∠GDB+∠FBD）=180°﹣（180°﹣∠DAB）=90°﹣∠DAB，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠DAB=∠C，

∴∠DHB=90°﹣∠C，

∵∠DHB=180°﹣∠P，

∴180°﹣∠P=90°+∠C，

∴∠P=90°﹣∠C；

（2）MP：AM=：2．

理由：过点P作PS⊥CD于点S，PR⊥BC于点R，

当∠C=90°时，则∠DPB=45°，

∵BN∥CD，

∴∠BND=∠BDN=∠SDN，

同理：∠PBD=∠PBR，

作PK⊥BD于点K，

在△PKD和△PSD中，

∴△PKD≌△PSD（AAS），

同理：△PKB≌△PRB，

∴PS=PR，

∴四边形PSCR是正方形，

延长BN交QS于点Q，则Q为PS的中点，

设QS=PQ=x，

则PS=CS=RC=2x，RB=KB=x，

设SD=m，BD=x+m，

则（x+m）2=x2+（2x﹣m）2，

∴m：x=2：3，

∴DK=SD=x，BD=x，

∴AM=DM﹣AD=BD﹣AD=x，

根据勾股定理得，AB==x，

在Rt△ABM中，BM=，

∴PB=，

∴PM=，

∴MP：AM=：2．