Question

【题目】如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．

（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当△APQ与△CQB相似时，AP的长为 ． ；
（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3，求S△APQ：S△ABQ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30﹣3x

∴ =

∴x= ；

（2）
cm或20cm
（3）

解：当S△BCQ：S△ABC=1：3时， = ，

∴ ，

由（1）知，PQ∥BC，

∴△APQ∽△ABC，

∴ ，

∴S△APQ：S△ABQ=2．

【解析】解： （2）假设两三角形可以相似，
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，
即有 = 解得x= ，
经检验，x= 是原分式方程的解．
此时AP= cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，
即有 = 解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
综上所述，AP= cm或AP=20cm；
故答案为： cm或20cm；
（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；（3）当S△BCQ：S△ABC=1：3时， = ，于是得到 ，通过相似三角形的性质得到 ，即可得到结论．