【题目】如图,已知二次函数图象的顶点坐标为,与坐标轴交于、、三点,且点的坐标为.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在二次函数图象位于轴上方部分有两个动点、,且点在点的左侧,过、作轴的垂线交轴于点、两点,当四边形为矩形时,求该矩形周长的最大值;
(3)在(2)中的矩形周长最大时,连接,已知点是轴上一动点,过点作轴,交直线于点,是否存在这样的点,使直线把分成面积为的两部分;若存在,求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.
备用图
【答案】(1);(2)20;(3)存在;点的坐标为或
【解析】
(1)二次函数表达式为:,将点B的坐标代入上式,即可求解;
(2)设点的坐标为,则的坐标为,的坐标为,从而求得;,所以矩形MNHG的周长,即可求解;
(3)当矩形周长取得最大值时,,从而求出的值,然后求出直线的解析式,设点坐标为,分当的面积是面积的时;当的面积是面积的时两种情况分别列出方程,求出点P的坐标.
解:(1)设二次函数的解析式为
二次函数图像的顶点坐标为
又图象经过点
解得:
二次函数的解析式为
(2)四边形为矩形,
关于直线对称
设点的坐标为,则的坐标为
的坐标为
;
矩形的周长
当时,
矩形周长的最大值为20.
(3)存在,理由如下:
当矩形周长取得最大值时,
,对称轴为直线
设直线的解析式为
将代入上式得:
,解得
设点坐标为
①当的面积是面积的时,
解得:;(舍去)
②当的面积是面积的时,
解得:;(舍去)
综上所述,点的坐标为或
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【题目】广西“稻鱼综合养殖”符合生态养殖,绿色发展.某稻鱼综合养殖户计划购买甲,乙两种禾花鱼鱼苗,经调查,得到以下信息:
购买重量小于40 kg | 购买重量不小于40 kg | |
甲鱼苗 | 原价销售 | 打七折销售 |
乙鱼苗 | 原价销售 | 打八折销售 |
如果购买10 kg的甲鱼苗和5 kg的乙鱼苗需用700元,如果购买20 kg的甲鱼苗和15 kg的乙鱼苗需用1600元.
(1)甲鱼苗和乙鱼苗的单价各是多少元?
(2)现决定购买甲,乙两种鱼黄共90 kg,其中,乙鱼苗的重量不大于甲鱼苗重量的2倍,设购买甲鱼苗a kg(),求该养殖户购买这批鱼苗的总费用W与a之间的函数解析式;
(3)在(2)的条件下,请设计一种购买方案,使所需总费用最低,并求出最低总费用.
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【题目】如图,一次函数(为常数,且)的图像与反比例函数的图像交于,两点.
(1)求一次函数的表达式;
(2)若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点,求的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线M:y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),且顶点坐标为B(0,1).
(1)求抛物线M的函数表达式;
(2)设F(t,0)为x轴正半轴上一点,将抛物线M绕点F旋转180°得到抛物线M1.
①抛物线M1的顶点B1的坐标为 ;
②当抛物线M1与线段AB有公共点时,结合函数的图象,求t的取值范围.
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【题目】新春佳节,电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏.某商店经销一种电子鞭炮,已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元,市场调查发现,该种电子鞭炮每天的销售量y(盒)与销售单价x(元)有如下关系:y=﹣2x+320(80≤x≤160).设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式;
(2)该种电子鞭炮销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
(3)该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润,又想买得快.那么销售单价应定为多少元?
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【题目】某商场销售某种款式童装,一天可售出30套,每套盈利40元.为了扩大销售,增加盈利,商场决定采取降价措施.若一套童装每降价1元,平均每天可多售出2套,设每套童装降价元时,商场一天可获利润元.
(1)求关于的函数解析式.
(2)若要商场每天盈利1500元,则应降价多少元?
(3)当每套童装降价多少元时,商场可获最大利润?最大利润为多少?
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【题目】如图,四边形ABCD是矩形,把矩形沿AC折叠,点B落在点E处,AE与DC的交点为O,连接DE.
(1)求证:△ADE≌△CED;
(2)求证:DE∥AC.
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