Question

【题目】如图，抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．

(1)求出抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋x－2;(2)点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).

【解析】

（1）用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，分两种情况讨论计算即可.

解：(1)∵该抛物线过点C(0，－2)，

∴可设该抛物线的解析式为y＝ax2＋bx－2.

将A(4，0)，B(1，0)代入，得，解得 ，

∴此抛物线的解析式为.

(2)存在，

设P点的横坐标为m，则P点的纵坐标为－m2＋m－2，

当1＜m＜4时，AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2.又∵∠COA＝∠PMA＝90°，

∴①当＝＝时，△APM∽△ACO，即4－m＝2(－m2＋m－2)．

解得m1＝2，m2＝4(舍去)，∴P(2，1)．

　②当＝＝时，△APM∽△CAO，即2(4－m)＝－m2＋m－2.

解得m1＝4，m2＝5(均不合题意，舍去)，∴当1＜m＜4时，P(2，1)．

类似地可求出当m＞4时，P(5，－2)．

当m＜1时，P(－3，－14)或P(0，－2)，

综上所述，符合条件的点P为(2，1)或(5，－2)或(－3，－14)或(0，－2).