Question

已知：如图，在等边三角形ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，D是MN上任意一点，CD、BD的延长线分别与AB、AC交于F、E，若

1

CE

+

1

BF

=

1

a

（a＞0），则△ABC的边长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：作辅助线构造两对相似三角形，借助等边三角形的性质分别求出

1

CE

、

1

BF

关于边长m的代数式，问题即可解决．

解答：解：过点D分别作DP∥AB，DQ∥AC，交BC于点P、Q；
∵点M、N分别为AB、AC边的中点，
∴MN∥BC，MN=

1

2

BC；
∴四边形DMBP、四边形DNCQ分别是平行四边形，
∴BP=DM，CQ=DN，
∴BP+CQ=MN=

1

2

BC，PQ=BC-

1

2

BC=

1

2

BC（设为m）
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°；
而∠DPQ=∠ABC=60°，∠DQP=∠ACB=60°，
∴△DPQ是等边三角形，DP=DQ=PQ=

1

2

m；
∵DQ∥AC，
∴

DQ

CE

=

BQ

BC

，

1

CE

=

BQ

DQ•BC

=

2BQ

m2

；
同理可证：

1

BF

=

2CP

m2

；
∴

1

CE

+

1

BF

=

2(BQ+CP)

m2

，
而BQ+CP=（BQ+CQ）+PQ=m+

1

2

m=

3

2

m，
∴

1

CE

+

1

BF

=

3

m

；
又∵

1

CE

+

1

BF

=

1

a

，
∴

3

m

=

1

a

，m=3a；
即△ABC的边长为3a．

点评：该题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形；对综合运用能力提出了较高的要求．