Question

如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，求PA+PB的最小值．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：过B作关于直线MN的对称点B′，连接AB′，由轴对称的性质可知AB′即为PA+PB的最小值，由同弧所对的圆心角和圆周角的性质可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，由对称的性质可知∠B′ON=∠BON=30°，即可求出∠AOB′的度数，再由勾股定理即可求解．

解答：解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，
则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵点B为劣弧AN的中点，
∴∠BON=∠AON=

1

2

×60°=30°，
由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，
∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∴AB′=

2

OA=

2

×1=

2

，
即PA+PB的最小值=

2

．

点评：本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解．