Question

如图，⊙O的弦AD∥BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC∥DE交BD于点H，DO及延长线分别交AC、BC于点G、F．
（1）求证：DF垂直平分AC； 
（2）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）根据切线的性质得DF⊥DE，再利用平行线的性质得DF⊥AC，然后根据垂径定理即可得到DF垂直平分AC；
（2）连结AO，如图，由（1）得AG=4cm，在Rt△AGD中利用勾股定理计算出DG=3cm，设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中再次利用勾股定理得到（r-3）²+4²=r²，然后解方程即可得到圆的半径．

解答：（1）证明：∵DE是⊙O的切线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴AG=CG，
∴DF垂直平分AC；
（2）解：连结AO，如图，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm，
在Rt△AGD中，∵AD=5cm，AG=4cm，
∴DG=

AD2-AG2

=3cm
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，∵OG²+AG²=OA²，
∴（r-3）²+4²=r²，即得r=

25

6

，
即⊙O的半径为

25

6

cm．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．注意构造直角三角形，利用勾股定理计算线段的长．