已知直线y=2x+4分别与x轴.y轴交于A.B.与双曲线y=kx在第一象限交于C(1.m)．(1)求点B.点C的坐标及k的值,(2)问在双曲线y=kx上且在直线y=2x+4的下方.是否存在点M.使△MAB得面积等于△ABO的面积的2倍?若存在.求出M点的坐标,若不存在.说明理由,(3)点P是双曲线y=kx第一象限上的动点.Q是直线y=2x+4上的动点.若△BPQ是等腰直角三角形.请直� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知直线y=2x+4分别与x轴、y轴交于A，B，与双曲线y=

在第一象限交于C（1，m）．
（1）求点B、点C的坐标及k的值；
（2）问在双曲线y=

上且在直线y=2x+4的下方，是否存在点M，使△MAB得面积等于△ABO的面积的2倍？若存在，求出M点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）点P是双曲线y=

第一象限上的动点，Q是直线y=2x+4上的动点，若△BPQ是等腰直角三角形，请直接写出点P的坐标．

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由题意可知B点的纵坐标为4，C点的横坐标为1，分别代入直线方程可求得两点的坐标，再把C点坐标代入双曲线解析式可求得k的值；
（2）△MAB和△ABO中AB为底，只要高满足2倍关系即可，过O作出△ABO的AB边上的高，利用对称性，作出D关于O点的对称点E，过E和AB平行的直线与双曲线的交点即为所求的M点，利用求交点坐标的方法可解出M的坐标；
（3）当∠PBQ为直角时，过点B且垂直AB的直线与双曲线的交点即满足题意，当∠PQB为直角时，则过B的直线与直线AB的夹角为45°即可，求出相应直线方程，联立方程组求解即可．

解答：解：（1）在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，
则B的坐标是（0，4），
令x=1，解得：y=6，
则C的坐标是（1，6），
把（1，6）代入y=

中，得：k=6；
（2）在y=2x+4中，令y=0，解得：x=-2，
则A的坐标是（-2，0）．
如图1，过O作OD⊥AB于点D，则直线OD的解析式是y=-

x，

图1
根据题意得：

y=2x+4

y=-

，
解得：

x=-

，
则D的坐标是（-

，

），D关于O的对称点是E（

，-

），
经过E且平行于AB的直线的解析式是：y=2x+c，则-

+c，
解得：c=-4，
则解析式是y=2x-4．
根据题意的：

y=2x-4

，
解得：

x=3

y=2

或

x=-1

y=-6

，
则M的坐标是（3，2）或（-1，-6）；
（3）当∠PBQ=90°时，则有BP⊥AB，
如图2，过点B作BP⊥AB，交双曲线于点P，

此时在直线AB上存在满足条件的Q点，
此时直线BP方程为：y=-

x+4，
联立双曲线方程得：

y=-

x+4

，
解得：

x=2

y=3

或

x=1

y=6

，即此时P点的坐标为（2，3）或（1，6）；
当∠BQP=90°时，如图3，过B点作直线BP，使直线BP与直线AB的夹角为45°，交双曲线于点P，交x轴于点D，此时在直线AB上存在满足条件的Q点，

则∠1=∠2+∠3=∠2+45°，
所以tan∠1=tan（∠2+45°）=

1+tan∠2

1-tan∠2

，
又tan∠1=

=2，所以

1+tan∠2

1-tan∠2

=2，
解得tan∠1=

，所以直线BP的方程为：y=

x+4，
联立双曲线方程得：

x+4

，
解得：

x=3

-6

或

x=-3

-6

y=-

（因为P点在第一象限，故舍去），
此时P点的坐标为（3

-6，

+2）；
当∠BPQ=90°时，同理可求得P点坐标仍为（3

-6，

+2）；
综上可知满足条件的P点的坐标为：（2，3）或（1，6）或（3

-6，

+2）．

点评：本题主要考查反比例函数与一次函数综合应用，在第（2）、（3）中确定出所求点的位置是解题的关键．

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