Question

【题目】如图1，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某校的数学拓展性课程班，在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．

如图2，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠C的平分线交AB于点D．

（1）证明点D是AB边上的黄金分割点；

（2）证明直线CD是△ABC的黄金分割线．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

(1)证明AD=CD=BC,证明△BCD∽△BCA,得到.则有,所以点D是AB边上的黄金分割点;

(2)证明,直线CD是△ABC的黄金分割线;

解：(1)点D是AB边上的黄金分割点.理由如下:

AB=AC,∠A=,∠B=∠ACB=.

CD是角平分线, ∠ACD=∠BCD=,

∠A=∠ACD,AD=CD.

∠CDB=180-∠B-∠BCD=,

∠CDB=∠B,BC=CD.

BC=AD.

在△BCD与△BCA中, ∠B=∠B,∠BCD=∠A=,

△BCD∽△BCA,

点D是AB边上的黄金分割点.

(2)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下:

设ABC中,AB边上的高为h,则

,,,

由（1）得点D是AB边上的黄金分割点，

，

直线CD是△ABC的黄金分割线