Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=b，AB=c．若D、E分别是AB和AB延长线上的两点，BD=BC，CE⊥CD，则以AD和AE的长为根的一元二次方程是（　　）

• A、x²-2cx+b²=0
• B、x²-cx+b²=0
• C、x²-2cx+b=0
• D、x²-cx+b=0

Answer 1

考点：勾股定理,根与系数的关系,直角三角形斜边上的中线

专题：

分析：根据等边对等角求出∠BCD=∠BDC，再根据等角的余角相等求出∠BCE=∠E，根据等角对等边可得BC=BE，设BD=BC=a，表示出AD、AE，然后利用根与系数的关系表示出AD+AE，AD•AE，再利用勾股定理求出c²-a²=b²，然后写出一元二次方程即可．

解答：解：∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，
∵CE⊥CD，
∴∠BCE+∠BCD=90°，∠E+∠BDC=90°，
∴∠BCE=∠E，
∴BC=BE，
设BD=BC=a，则AD=c-a，AE=c+a，
∴AD+AE=（c-a）+（c+a）=2c，
AD•AE=（c-a）（c+a）=c²-a²，
由勾股定理得，c²-a²=b²，
∴AD•AE=b²，
∴以AD和AE的长为根的一元二次方程是x²-2cx+b²=0．
故选A．

点评：本题考查了勾股定理，根与系数的关系，等边对等角和等角对等边的性质，熟记性质并表示出AD+AE，AD•AE是解题的关键．