Question

【题目】正方形四边条边都相等，四个角都是90°．如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，点E是直线MN上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．

（1）如图1，当点E在线段BC上（不与点B、C重合）时：

①判断△ADG与△ABE是否全等，并说明理由；
②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，观察并猜测线段BE与线段CH的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E在射线CN上（不与点C重合）时：

①判断△ADG与△ABE是否全等，不需说明理由；
②过点F作FH⊥MN，垂足为点H，已知GD=4，求△CFH的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：①△BAE≌△DAG．理由如下：

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，

∴∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，

∴∠BAE=∠DAG．

∴△BAE≌△DAG；

②CH=BE．理由如下：

由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，

由①得∠FEH=∠BAE=∠DAG，

又∵G在射线CD上，

∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，AG=AE=EF，

∴∠BAE=∠DAG=∠EFH，

∴△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，

∴EH=AD=BC，

∴CH=BE．

（2）解：①△BAE≌△DAG．理由如下：

∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AB=AD，AE=AG，∠ADG=∠ABE=90°，

∴在Rt△BAE与Rt△DAG中，

∴△BAE≌△DAG；（HL）

②由（1）同理可得：△EFH≌△AGD，△EFH≌△AEB，

∴GD=FH=CH=4，

∴△CFH的面积为： FHCH= ×4×4=8

【解析】（1）①利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答；②利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答；（2）①利用HL定理证明△BAE≌△DAG即可；②利用△EFH≌△GAD，△EFH≌△ABE，即可得出GD=FH=CH=4，再利用△CFH的面积公式求出．