【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E，F分别是BC，AC的中点.
(1)求证：DF⊥DE.
(2)若AC=8，BC=6，求EF的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)EF=5.
【解析】
(1)利用垂直的定义，可得△CDB和△ADC是直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得DF=AF，DE=BE，再利用等边对等角，易证∠A=∠ADF，∠EDB=∠B，然后证明∠EDF=90°，即可得出结论；
(2) 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出DE，DF的长，再利用勾股定理求出EF的长.
(1)∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵点E、F分别是BC、AC的中点，
∴DF=AF，DE=BE，
∴∠A=∠ADF，∠EDB=∠B，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠ADF+∠EDB=90°，
∴∠EDF=90°，即DF⊥DE；
(2)∵AC=8，BC=6，
∴DF=4，DE=3，
∴EF=
=5.
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【题目】如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
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【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC,把△ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到△ADE,联结BD与CE交于点F，BD交AE于点G.
(1)求证:△AEC≌△ADB ;
(2)若AB=2,∠ACB=67.5°，AC∥DF ，求BD的长.
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【题目】小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：
≈1.414，
≈1.732）
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【题目】如图1， 在
中，
，
.点O是BC的中点，点D沿B→A→C方向从B运动到C.设点D经过的路径长为
，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的 ( )
图1 图2
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=﹣
+bx+c的图象经过点A（1，0），且当x=0和x=5时所对应的函数值相等．一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣
+bx+c的图象分别交于B，C两点，点B在第一象限．
（1）求二次函数y=﹣+bx+c的表达式；
（2）连接AB，求AB的长；
（3）连接AC，M是线段AC的中点，将点B绕点M旋转180°得到点N，连接AN，CN，判断四边形ABCN的形状，并证明你的结论．
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【题目】如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5cm，DF＝4cm，那么EF的长为（ ）
A. 6.5cm B. 6cm C. 5.5cm D. 4cm
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【题目】综合与实践：
如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：在图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，∠MPN的度数是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，
①判断△PMN的形状，并说明理由；
②求∠MPN的度数；
（3）拓展延伸：若△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=10，点DE分别在边AB，AC上，AD=AE=4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请直接写出△PMN面积的最大值．
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