【题目】综合与实践：
如图1，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边AB、AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：在图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，∠MPN的度数是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，
①判断△PMN的形状，并说明理由；
②求∠MPN的度数；
（3）拓展延伸：若△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=10，点DE分别在边AB，AC上，AD=AE=4，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．把△ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请直接写出△PMN面积的最大值．
【答案】（1）PM=PN；120°；（2）①△PMN是等腰三角形，理由见解析；②120°；（3）
；
【解析】
(1)根据三角形中位线的性质可证明PN∥BD，PM∥EC，PN=
BD，PM=CE，由AD=AE即可证明PM=PN，根据平行线性质及外角性质可证明∠MPN=∠B+∠ACB=120°；（2）①连接BD、CE，可证明△BAD≌△CAE，可知BD=CE，∠ABD=∠ACE，根据三角形中位线可知PN∥BD，PM∥EC，PN=BD，PM=CE，可知PN=PM即可判断△PMN是等腰三角形．②由平行线的性质可知∠PNC=∠DBC，∠DPM=∠A=ECD，进而可求出∠MPN=120°，（3）由旋转知，∠BAD=∠CAE，可证明△ABD≌△ACE（SAS），可知∠ABD=∠ACE，BD=CE，通过（2）的方法可证PM=PN，∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC
根据外角性质可证明∠MPN=∠ABC+∠ACB，进而可知△PMN是等腰直角三角形，求△PMN面积的最大值即可.
（1）如图1中，
∵AB=AC=BC，AD=AE，
∴BD=CE，∠B=∠ACB=60°，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PN∥BD，PM∥EC，PN=BD，PM=CE，
∴PN=PM，∠PNC=∠B，∠DPM=∠ACD，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ACD+∠PNC+∠DCB=∠ACD+∠DCB+∠B=∠ACB+∠B=120°，
故答案为PM=PN，120°．
（2）如图2中，连接BD、EC．
①∵∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵BA=CA，DA=EA，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，
∴PN∥BD，PM∥EC，PN=BD，PM=CE，
∴PN=PM，
∴△PMN是等腰三角形．
②∵PN∥BD，PM∥EC
∴∠PNC=∠DBC，∠DPM=∠A=ECD，
∴∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+∠PNC+∠DCB=∠ECD+∠DCB+∠DBC=∠ACE+ACD+∠DCB+∠DBC=∠ABD+∠ACB+∠DBC=∠ACB+∠ABC=120°．
（3）如图3中，
由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
同（2）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
同（2）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（2）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形，
∵PM=PN=BD，
∴BD最大时，PM最大，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD=AB+AD=14，
∴PM=7，
∴S△PMN最大=PM2=×72=.
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【题目】如图1，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图2，点C落在点C′处，最后按图3所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG，若原正方形纸片的边长为9cm，则FG=_____cm．
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【题目】如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．
（1）如图1，当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF；
（2）如图2，当EF与斜边BC相交时，其他条件不变，写出EF、BE、CF之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，猜想EF、BE、CF之间又存在怎样的数量关系，写出猜想，不必说明理由．
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【题目】如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是 ． 
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【题目】（2016广西南宁市）在南宁市地铁1号线某段工程建设中，甲队单独完成这项工程需要150天，甲队单独施工30天后增加乙队，两队又共同工作了15天，共完成总工程的
．
（1）求乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后乙队的工作效率是
，甲队的工作效率是乙队的m倍（1≤m≤2），若两队合作40天完成剩余的工程，请写出a关于m的函数关系式，并求出乙队的最大工作效率是原来的几倍？
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【题目】某商场对今年端午节这天销售A、B、C三种品牌粽子的情况进行了统计，绘制如图1和图2所示的统计图．根据图中信息解答下列问题：
(1)求销售这三种品牌粽子共多少个?
(2)请补全图1中的条形统计图；
(3)求A品牌粽子在图2中所对应的圆心角的度数；
(4)若该商场准备明年端午节期间购进粽子6000个，那应该对A、B、C三种品牌何进货?请你提出一条合理化的建议
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【题目】列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂。”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少。
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树。他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为60千米／小时，走了约3分钟，由此估算这段路长约_______千米。
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达8米。小宇计划从路的起点开始，每a米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的a扩大一倍，则路的两侧共计减少200棵树，请你求出a的值。
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【题目】阅读材料后完成．
有这样一个游戏，游戏规则如下所述：如图①—图④，都是边 长为
的
网格图，其中每条实线称为格线，格线与格线的交 点称为格点．在图①和图②中，可知
．在图③ 和图④中，可知
． 根据上面的游戏规则，同学们开始闯关吧！ 第一关：在图⑤的
网格图中，所给各点均为格点，经过 给定的一点（不包括边框上的点），在图中画出一条与线段
垂直 的线段（或者直线）
，再画出与线段平行的一条线段（或者 直线）
． 第二关：在图⑥的网格图中，所给各点均为格点，经过 两对给定的点，构造两条互相垂直的直线．（在图中直接画出）
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【题目】如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′，
（2）再在图中画出△A′B′C′的高C′D′，并求出△ABC在整个平移过程中线段AC扫过的面积为________．
（3）能使S△MBC=S△ABC的格点M共有_______个（点M异于点A）
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