Question

【题目】如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若点P在第一象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标；

（3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+4；（2）P（2，6），16；（3）存在，Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（3，﹣4）

【解析】试题分析：(1)、将点A和点C的坐标代入解析式，从而求出b和c的值，然后得出函数解析式；(2)、根据二次函数得出点B的坐标，根据题意可得要使△ACP的面积达到最大时，经过点P且与AC的平行直线与抛物线只有一个交点，从而得出答案；(3)、分两种情况来进行讨论：①以AB为边时，CQ∥AB，CQ=AB 过点C作平行于AB的直线l，设点Q的坐标为（d，4），则CQ=|d|，根据题意得出AB=5，从而得出d的值，得出点Q的坐标；②、以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，根据题意得出中点的坐标，得出直线CQ的解析式，设出点Q的坐标，然后根据勾股定理求出点Q的坐标得出答案.

试题解析：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）．

∴，∴， ∴二次函数的表达式为y=﹣x2+3x+4，

（2）如图，

由（1）有，二次函数的表达式为y=﹣x2+3x+4， 令y=0，得x=4，或x=-1，∴B（-1，0）

连接AC，PA，PC，要使四边形的面积最大，当且仅当的面积最大时，

∴点P在平行于直线AC，且该直线与抛物线只有一个交点时，S△PAC最大，

即：S四边形AOCP最大；

∵A（4，0），C（0，4）， ∴直线AC解析式为，

设与直线AC平行的直线解析式为，则

，∴

∴，∴，∴点P（2，6），

连接PO，过点P作PD⊥y轴，PG⊥x轴，则PD=2，PG=6，

∴．

（3）存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形，

p>理由：①以AB为边时，CQ∥AB，CQ=AB 过点C作平行于AB的直线l，

∵C（0，4），∴直线l解析式为y=4，∴点Q在直线l上， 设Q（d，4），∴CQ=|d|，

∵A（﹣4，0），B（1，0），∴AB=5，∴|d|=5，∴d=±5， ∴Q（﹣5，4）或（5，4），

②以AB为对角线时，CQ必过线段AB中点，且被AB平分，即：AB的中点也是CQ的中点，

∵A（4，0），B（-1，0），∴线段AB中点坐标为（，0），

∵C（0，4），∴直线CQ解析式为y=-x+4，设点Q（m，-m+4），

∴，∴m=0（舍）或m=3，∴Q（3，﹣4），

即：满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（3，﹣4）．