【题目】如图,平面直角坐标系中,点A在第一象限,AB⊥x轴于B.AC⊥y轴于C,A(4a,3a),且四边形ABOC的面积为48.
(1)如图1,直接写出点A的坐标;
(2)如图2,点D从O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动,同时点E从A出发,以每秒2个单位的速度沿射线BA运动,DE交线段AC于F,设运动的时间为t,当S△AEF<S△CDF时,求t的取值范围;
(3)如图3,将线段BC平移,使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上,点C的对应点为N,连BN交y轴轴于P,当OM=3OP时,求点M的坐标.
【答案】(1)点A的坐标(8,6);(2)t的取值范围为:0<t<2;(3)M(0,﹣)或(0,﹣18).
【解析】
(1)根据矩形的面积列方程即可得到结论;
(2)过D作DH⊥AB于H,由S△AEF<S△CDF,得到S矩形ACDH>S△EDH,解不等式即可得到结论;
(3)如图3(1)和(2),设M(0,n),由平移的性质得N(﹣8,n+6),过N作NE⊥x轴于E,根据三角形和梯形的面积公式列方程即可得到结论.
(1)∵AB⊥x轴于B.AC⊥y轴于C,
∴四边形ABOC是矩形,
∵A(4a,3a),
∴AC=4a,AB=3a,
∴4a3a=48,
∴a=±2,
∵点A在第一象限,
∴a=2,
∴点A的坐标(8,6);
(2)如图2,过D作DH⊥AB于H,
∵S△AEF<S△CDF,
∴S△AEF+S梯形AFDH<S△CDF+S梯形AFDH,即S矩形ACDH>S△EDH,
∴8×(6﹣t)>8×(6+t),
解得t<2,
∴t的取值范围为:0<t<2;
(3)如图3(1)和(2),
设M(0,n),由平移的性质得N(﹣8,n+6),
过N作NE⊥x轴于E,
∵S△BNE=S梯形NEOP+S△POB,
∴(8+8)×|n+6|=(OP+|n+6|)×8+8×OP,
解得:OP=|n+6|,
∵OM=3OP,
∴﹣n=3×|n+6|,
解得:n=﹣,n=﹣18,
∴M(0,﹣)或(0,﹣18).
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【题目】如图,△ABC的两条角平分线相交于O,过O的直线MN∥BC交AB于M交AC于N,若BC=8cm,△AMN的周长是12cm,则△ABC的周长等于_____cm.
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【题目】如图,利用关于坐标轴对称的点的坐标特点
(1) 作出△ABC关于x轴对称的图象.
(2) 写出A、B、C的对应点A′、B′、C′的坐标.
(3) 直接写出△ABC的面积__________
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【题目】如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:ΔABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
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【题目】某木板加工厂将购进的A型、B型两种木板加工成C型,D型两种木板出售,已知一块A型木板的进价比一块B型木板的进价少10元,且购买3块A型木板和2块B型木板共花费120元.
(1)A型木板与B型木板的进价各是多少元?
(2)根据市场需求,该木板加工厂决定用不超过2770元购进A型木板、B型木板共100块,若一块A型木板可制成1块C型木板、2块D型木板;一块B型木板可制成2块C型木板、1块D型木板,且生产出来的C型木板数量不少于D型木板的数量的7/5.
①该木板加工厂有几种进货方案?
②若C型木板每块售价30元,D型木板每块售价25元,且生产出来的C型木板、D型木板全部售出,哪一种方案获得的利润最大,求出最大利润是多少?
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【题目】如图,把矩形纸片ABCD沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是( )
A. △EBD是等腰三角形,EB=ED B. 折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等
C. 折叠后得到的图形是轴对称图形 D. △EBA和△EDC′一定是全等三角形
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【题目】如图,已知,两点在数轴上,点表示的数为-10,,点以每秒3个单位长度的速度从点向右运动.点以每秒2个单位长度的速度从点向右运动(点、同时出发)
(1)请你写出数轴上点对应的数;
(2)当运动的时间为3秒时,请你求出此时点、在数轴上对应的数,并求出、之间的距离;
(3)经过几秒,点、点分别到原点的距离相等.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,则下列四个结论:(1)AD上任意一点到点C、D的距离相等;(2)AD上任意一点到AB、AC的距离相等;(3)AD⊥BC且BD=CD;(4)∠BDE=∠CDF,其中正确的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】阅读下列材料并解决后面的问题
材料:对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Npler,1550-1617年),纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前,直到18世纪瑞士数学家欧拉(Evler,1707--1783)才发现指数与对数之间的联系,我们知道,n个相同的因数a相乘aa…,a记为an,如23=8,此时,3叫做以2为底8的对数,记为log28,即log28=3一般地若an=b(a>0且a≠1,b>0),则n叫做以a为底b的对数,记为logab,即logab=n.如34=81,则4叫做以3为底81的对数,记为log381,即log381=4.
(1)计算下列各对数的值:log24=______,log216=______,log264=______;
(2)通过观察(1)中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是______;
(3)拓展延伸:下面这个一股性的结论成立吗?我们来证明logaM+logaN=logaMN(a>0且a≠1,M>0,N>0)
证明:设logaM=m,logaN=n,
由对数的定义得:am=M,an=N,
∴aman=am+n=MN,
∴logaMN=m+n,
又∵logaM=m,logaN=n,
∴logaM+logaN=logaMN(a>0且a≠1,M>0,N>0);
(4)仿照(3)的证明,你能证明下面的一般性结论吗?logaM-logaN=loga(a>0且a≠1,M>0,N>0)
(5)计算:log34+log39-log312的值为______.
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