Question

13．已知直线y₁=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）分别交于点C、D，且C点的坐标为（-1，2）．
（1）分别求出直线AB及双曲线的解析式；
（2）求出点D的坐标；
（3）在坐标轴上找一点M，使得以M、C、D为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出M点坐标．

Answer 1

分析 （1）把C（-1，2）分别代入y₁=x+m，y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）根据待定系数法即可求得；
（2）解由两个函数的解析式组成的方程组，得交点坐标D．
（3）根据直线的解析式求出点A、B的坐标，再求出CD的长度，然后分①当∠CDM=90°时，②当∠DCM=90°时两种情况讨论求解．

解答 解：（1）把C（-1，2）代入y₁=x+m得：-1+m=2，
解得 m=3，
则y₁=x+3，
把C（-1，2）代入y₂=$\frac{k}{x}$（x＜0）得：2=$\frac{k}{-1}$，
解得：k=-2，
则y=-$\frac{2}{x}$；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=x+3}\\{y=-\frac{2}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
则D点坐标为（-2，1）；
（3）当y=0时，x+3=0，
解得x=-3，
当x=0时，y₁=0+3=3，
∴点A、B的坐标分别是A（-3，0）、B（0，3），
∵C（-1，2），D（-2，1）；
∴AB=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{（-1+2）^{2}+（2-1）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{（-3+2）^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴AC=AD+CD=2$\sqrt{2}$，
①当∠CDM=90°时，
∵∠ADM=∠AOB=90°，∠DAM=∠OAB，
∴△ADM∽△AOB，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AD}{OA}$，即$\frac{AM}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴AM=2，
∴OM=3-2=1，
∴M（-1，0）；
②当∠DCM=90°时，
同理证得：△ACM∽△AOB，
∴$\frac{AM}{AB}$=$\frac{AC}{OA}$，即$\frac{AM}{3\sqrt{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
∴AM=4，
∴OM=AM-OA=1，
∴M（1，0）；
综上所述，点M的坐标是（-1，0）或（1，0）．

点评 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，根据题意求出A、B、C、D点的坐标是解答此题的关键．