Question

18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=6，D为AC延长线上一点，AC=3CD，过点D作DH∥AB，交BC的延长线于点H．
（1）求BH的长；
（2）若AB=12，试判断∠CBD与∠A的数量关系，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定得出两三角形相似，得出比例式，代入求出即可；
（2）根据相似三角形的性质求出DH长，解直角三角形得出即可．

解答 解：（1）∵DH∥AB，
∴△ABC∽△DHC，
∴$\frac{BC}{CH}$=$\frac{AC}{DC}$，
∵BC=6，AC=3CD，
∴CH=2，
∴BH=BC+CH=6+2=8；

（2）∠CBD=∠A，
理由是：∵AC=3CD，△ABC∽△DHC，
∴$\frac{AB}{DH}$=$\frac{AC}{CD}$=3，
∵AB=12，
∴DH=4，
∵DH∥AB，∠ABC=90°，
∴∠ABC=∠H=90°，
∵AB=12，BC=6，BH=8，DH=4，
∴tan∠CND=$\frac{DH}{BH}$=$\frac{4}{8}$=$\frac{1}{2}$，tanA=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠CBD=∠A．

点评 本题考查了平行线的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，能求出△ABC∽△DHC是解此题的关键．