Question

16．已知x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+2=0的两个实数根．是否存在实数k，使（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-$\frac{3}{2}$成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由．

Answer 1

分析 先利用一元二次方程的定义和根的判别式得到4k≠0，且△=（-4k）²-4k（k+2）≥0，解得k＜0，再利用根与系数的关系得到x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+2}{4k}$，则利用（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-$\frac{3}{2}$得到2（x₁+x₂）²-9（x₁x₂）=-$\frac{3}{2}$，所以2×1²-9•$\frac{k+2}{4k}$=-$\frac{3}{2}$，解得k=$\frac{18}{5}$，然后利用k＜0可判定不存在k的值．

解答 解：不存在．
理由如下：
根据题意得4k≠0，且△=（-4k）²-4k（k+2）≥0，
∴k＜0，
∵x₁，x₂是一元二次方程4kx²-4kx+k+2=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=$\frac{k+2}{4k}$，
∵（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-$\frac{3}{2}$，
∴2（x₁+x₂）²-9（x₁x₂）=-$\frac{3}{2}$，
∴2×1²-9•$\frac{k+2}{4k}$=-$\frac{3}{2}$，解得k=$\frac{18}{5}$，
而k＜0，
∴不存在k的值，使（2x₁-x₂）（x₁-2x₂）=-$\frac{3}{2}$成立．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．