Question

15．如图，在△ABC，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于I，问∠BIC与∠A有什么关系？利用上述关系，计算：
（1）当∠A=50°时，求∠BIC；
（2）当∠BIC=130°时，求∠A．

Answer 1

分析 由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，则∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），在△IBC中，利用三角形内角和定理求∠BIC即可．①②代入求得答案即可．

解答 解：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∵BI、CI是△ABC内角的平分线
∴∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
在△IBC中，
∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°+$\frac{1}{2}$∠A
即：∠BIC=90°+$\frac{1}{2}$∠A
①当∠A=50°时，∠BIC=115°．
②当∠BIC=130°时，∠A=80°．

点评 本题考查了三角形角平分线的性质，内角和定理的运用，掌握三角形的内角和等于180°是解决问题的关键．