如图1.正方形ABCD中.E.F分别是边BC.CD上的点.AF与ED相交于O.且BE=CF.过点C作CG⊥DE.垂足为G．(1)求证:DE⊥AF,(2)探究:线段AO.DO.GO长度之间存在怎样的数量关系?请写出并说明理由,(3)拓展:若点E.F分别在线段BC.CD的延长线上.AF与ED的延长线相交于O.其余条件不变.请你在图2中画出满足条件的图形.并写出线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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5．如图1，正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，AF与ED相交于O，且BE=CF，过点C作CG⊥DE，垂足为G．
（1）求证：DE⊥AF；
（2）探究：线段AO，DO，GO长度之间存在怎样的数量关系？请写出并说明理由；
（3）拓展：若点E，F分别在线段BC，CD的延长线上，AF与ED的延长线相交于O，其余条件不变，请你在图2中画出满足条件的图形，并写出线段AO，DO，GO长度之间的数量关系（不需证明）．

分析（1）由BE=CF及正方形的性质，得出CE=DF，DC=AD，∠DCE=∠ADF=90°，证明△CDE≌△DAF，得出∠CDE=∠DAF，而∠CDE+∠ADO=90°，可得∠DAF+∠ADO=90°，利用互余关系得出∠AOD=90°即可；
（2）由（1）的结论可证△ADO≌△DCG，得AO=DG=DO+OG；
（3）根据题意画出图形，同（1）易得△ADF≌△DCE，证得∠AOD=90°，证得△ADO≌△DCG，由全等三角形的性质可得AO=DG，OD=CG，等量代换数形结合可得结论．

解答（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且BE=CF，
∴CE=DF，DC=AD，∠DCE=∠ADF=90°，
在△CDE和△DAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=DF}\\{∠ECD=∠FDA=90°}\\{CD=DA}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△DAF，
∴∠CDE=∠DAF，
又∵∠CDE+∠ADO=90°，
∴∠DAF+∠ADO=90°，
∴∠AOD=90°，即DE⊥AF；

（2）解：AO=DO+OG．
理由：由（1）的结论可知，
∠CDE=∠DAF，∠AOD=∠DGC=90°，AD=DC，
在△ADO和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠DGC=90°}\\{∠DAF=∠CDE}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
则△ADO≌△DCG，
所以AO=DG=DO+OG；

（3）解：右图即为所求；
如图所示，AO+DO=GO．
理由：∵同（1）可得△ADF≌△DCE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵∠CDE=∠FDO，
∴∠DAF=∠FDO，
∵∠FDO+∠ADO=90°，
∴∠DAF+∠ADO=90°，
∴∠AOD=90°，
在△ADO与△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOD=∠DGC=90°}\\{∠DAO=∠CDG}\\{AD=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△DCG，
∴AO=DG，OD=CG，
∵OD+DG=OG，
∴OD+AO=GO．

点评本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是利用正方形的性质证明全等三角形，利用线段，角的关系解题．

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