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【题目】数学课上李老师出示了如下框中的题目

小敏与同桌小聪讨论后进行了如下解答:

1特殊情况探索结论

当点E为AB的中点时如图1确定线段AE与的DB大小关系请你直接写出结论:AE__________DB=).

2特例启发解答题目

解:题目中AE与DB的大小关系是:AE__________DB=).理由如下:

如图2过点E作EFBC交AC于点F,(请你完成以下解答过程

3拓展结论设计新题

在等边三角形ABC中点E在直线AB上点D在直线BC上且ED=ECABC的边长为1AE=2求CD的长

【答案】1=;2=证明见解析;33或1

【解析】

试题分析:本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定利用全等得到BD=EF再找EF和AE的关系是解题的关键

1当E为中点时过E作EFBC交AC于点F则可证明BDE≌△FEC可得到AE=DB;

2类似1过E作EFBC交AC于点F可利用AAS证明BDE≌△FEC可得BD=EF再证明AEF是等边三角形可得到AE=EF可得AE=DB;

3分点E在AB上和在BA的延长线上类似2证得全等再利用平行得到

试题解析:

1答案为:=

2答案为:=

在等边ABCABC=ACB=BAC=60°AB=BC=AC

EFBC

∴∠AEF=ABCAFE=ACB

∴∠AEF=AFE=BAC=60°

AE=AF=EF

ABAE=ACAF

BE=CF

∵∠ABC=EDB+BEDACB=ECB+FCE

ED=EC

∴∠EDB=ECB

∵∠EBC=EDB+BEDACB=ECB+FCE

∴∠BED=FCE

DBEEFC

∴△DBE≌△EFCSAS),

DB=EF

AE=BD

3解:分为四种情况:

如图1

AB=AC=1AE=2

BAE的中点

∵△ABC是等边三角形

AB=AC=BC=1ACE是直角三角形根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),

∴∠ACE=90°AEC=30°

∴∠D=ECB=BEC=30°DBE=ABC=60°

∴∠DEB=180°30°60°=90°

DEB是直角三角形

BD=2BE=230°所对的直角边等于斜边的一半),

CD=1+2=3

如图2

AANBCNEEMCDM

等边三角形ABCEC=ED

BN=CN=BC=CM=MD=CDANEM

∴△BAN∽△BEM

=

∵△ABC边长是1AE=2

=

MN=1

CM=MNCN=1=

CD=2CM=1

如图3∵∠ECDEBCEBC=120°),ECD不能大于120°否则EDC不符合三角形内角和定理

此时不存在EC=ED

如图4

∵∠EDCABCECBACB

∵∠ABC=ACB=60°

∴∠ECDEDC

即此时ED≠EC

此时情况不存在

答:CD的长是31

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