Question

如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG，BD，DG，下列结论：

①BE=CD；

②∠DGF=135°；

③∠ABG+∠ADG=180°；

④若=，则3S_△BDG=13S_△DGF．

其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

①③④． 解：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB=BE，∠AEB=45°，

∵AB=CD，

∴BE=CD，

故①正确；

∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∵点G为EF的中点，

∴CG=EG，∠FCG=45°，

∴∠BEG=∠DCG=135°，

在△DCG和△BEG中，

，

∴△DCG≌△BEG（SAS）．

∴∠BGE=∠DGC，

∵∠BGE＜∠AEB，

∴∠DGC=∠BGE＜45°，

∵∠CGF=90°，

∴∠DGF＜135°，

故②错误；

∵∠BGE=∠DGC，

∴∠ABG+∠ADG=∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG=∠ABC+∠ADC=180°，

故③正确；

∵△DCG≌△BEG，

∵∠BGE=∠DGC，BG=DG，

∵∠EGC=90°，

∴∠BGD=90°，

∵BD==，

∴BG=DG=，

∴S_△BDG=×=

∴3S_△BDG=，

过G作GM⊥CF于M，

∵CE=CF=BC﹣BE=BC﹣AB=1，

∴GM=CF=，

∴S_△DGF=•DF•GM==，

∴13S_△DGF=，

∴3S_△BDG=13S_△DGF，

故④正确．