Question

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=1厘米，AB=3厘米，BC=5厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿BC方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿CD方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（t＞0）．

（1）求线段CD的长；

（2）t为何值时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分？

（3）伴随P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l．

①t为何值时，l经过点C？

②求当l经过点D时t的值，并求出此时刻线段PQ的长．

Answer 1

 解：（1）如图1，作DE⊥BC于E，

∵AD∥BC，∠A=90°，

∴四边形ABED为矩形，

∴BE=AD=1，DE=AB=3，

∴EC=BC﹣BE=4，

在Rt△DEC中，DE²+EC²=DC²，

∴厘米；

（2）∵点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒，运动时间为t秒，

∴BP=t厘米，PC=（5﹣t）厘米，CQ=2t厘米，QD=（5﹣2t）厘米，

且0＜t≤2.5，

作QH⊥BC于点H，

∴DE∥QH，

∴∠DEC=∠QHC，

∵∠C=∠C，

∴△DEC∽△QHC，

∴，

∴，

∴，

∴，

，

分两种情况讨论：

①当S_△PQC：S_{四边形ABCD}=1：3时，，

即t²﹣5t+5=0，

解得：（舍去）；

②S_△PQC：S_{四边形ABCD}=2：3时，，

即t²﹣5t+10=0，

∵△＜0，

∴方程无解，

∴当t为秒时，线段PQ将四边形ABCD的面积分为1：2两部分；

（3）如图2，

①当PQ的垂直平分线l经过点C时，可知PC=QC，

∴5﹣t=2t，

∴3t=5，

∴t=，

∴当t=秒时，直线l经过点C；

②如图3，

当PQ的垂直平分线l经过点D时，

可知DQ=DP，

连接DP，则在Rt△DEP中，DP²=DE²+EP²，

∴DQ²=DE²+EP²，

∴（5﹣2t）²=3²+（t﹣1）²，

∴t₁=1，t₂=5（舍去），

∴BP=1厘米，

∴当t=1秒时，直线l经过点D，此时点P与点E重合；

如图4，连接FQ，

∵直线l是△DPQ的对称轴，

∴△DEF≌△DQF，∠DQF=90°，EF=QF，

设EF=x厘米，则QF=x厘米，FC=（4﹣x）厘米，

在Rt△FQC中，FQ²+QC²=FC²，

x²+2²=（4﹣x）²，

∴x=，

∴EF=厘米，

在Rt△DEF中，DE²+EF²=DF²，

∴，

∴DF=厘米，

在Rt△DEF中，EG⊥DF，

∴，

∴EG=，

∴EG=厘米，

∴PQ=2EG=厘米．